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趣题:怎样向别人证明两个图不同构?

浏览次数: Matrix67: My Blog 2016年03月07日 字号:
若干个顶点(vertex)以及某些顶点对之间的边(edge)就构成了一个图(graph)。如果图 G 和图 H 的顶点数相同,并且它们的顶点之间存在着某种对应关系,使得图 G 中的两个顶点之间有边,当且仅当图 H 中的两个对应顶点之间有边,我们就说图 G 和图 H 是同构的(isomorphism)。直观地说,两个图是同构的,意思就是它们本质上是同一个图,虽然具体的画法可能不一样。下面的两个图就是同构的。其中一种顶点对应关系是: 1 – a, 2 – c, 3 – d, 4 – b, 5 – e, 6 – g, 7 – h, 8 – f 。 目前,人们还没有找到任何高效的算法,能迅速判断出两个图是否同构。在普通计算机上,判断两个图是否同构,这需要花费大量的时间。因此,人们经常以图的同构为例,来解释复杂度理论和现代密码学中的诸多概念。 假设你家里的计算机十分强大,能很快判断出两个图是否同构,还能在两个图确实同构的情况下,给出一种顶点对应关系。但你的同桌家里的计算机却非常弱,没法做什么大型运算。课堂上,老师向全班展示了两个很复杂的图,不妨把它们叫作图 G 和图 H 。老师布置了一个特别的选做题:判断出这两个图是否同构。每个同学都可以提交答案,答案里只需要写“是”或者“不是”即可。按时提交答案并答对者,期末考试会获得 5 分加分;按时提交答案但答错了的,期末考试成绩将会倒扣 30 分;不参与此活动的同学,期末考试既不加分也不扣分。显然,每个同学都不敢随意提交答案,除非百分之百地能保证自己获得的答案是正确的。回到家后,借助家里的超级计算机,你很快判断出了这两个图是同构的。你给你的同桌发送了信息:“我已经算出来了,这两个图是同构的。”但是,你的同桌却回复说:“你不会是骗我的吧?”你打算怎样说服他,这两个图确实是同构的呢? 你只需要把两个图的顶点对应关系发送给他即可。他家里的计算机非常弱,没法找出满足要求的顶点对应关系。但若有了一个顶点对应关系,验证其确实满足要求,这是非常容易的,几乎不需要什么计算量——只需要枚举图 G 里的顶点对,看看它们之间有边是否当且仅当图 H 中的对应顶点之间有边即可。完成验证之后,他就知道了,这两个图确实是同构的。 总结起来,刚才我们面对的是这样的困境:
  1. 你拥有无限的计算能力。
  2. 对方的计算能力非常有限。
  3. 你想要向对方证明,图 G 和图 H 确实是同构的。
判断两个图是否同构可能很难,但若给出一段证据后,很容易验证两个图确实同构,上述困境也就得以解决了。这就是复杂度理论中 NP 问题的大致意思。 但是,如果把两个图同构的证据直接交给你的同桌,你的同桌或许又会用同样的办法去帮助别人,最后搞得班上所有人都获得了加分,这就没意思了。有没有办法说服你的同桌,这两个图确实是同构的,但却又让他无法拿到这两个图同构的证据呢?也就是说,现在我们面对的是这样的困境:
  1. 你拥有无限的计算能力。
  2. 对方的计算能力非常有限。
  3. 你想要向对方证明,图 G 和图 H 确实是同构的。
  4. 你不想泄露这两个图的顶点之间的对应关系。
这看上去似乎是不可能实现的——不把顶点之间的对应关系告诉对方,怎样说服对方两个图确实是同构的呢?然而,这竟然是能做到的。整个过程分为很多轮进行。在每一轮里,你随机生成一个与图 G 同构的图 G′ 。如果图 G 和图 H 真的同构,那显然图 G′ 也与图 H 同构。然后,你把图 G′ 发送给对方。对方可以随机提出下面两个要求之一:提供 G′ 与 G 同构的证据,或者提供 G′ 与 H 同构的证据。不管对方提出的是哪个要求,你都可以放心大胆地把证据发给对方,这不会泄露图 G 和图 H 之间的对应关系。另外,如果图 G 和图 H 不是同构的,那么这两个要求你不可能都做得到;面对对方的抽查,总能如约作答的概率是很低很低的。很多轮过去后,对方便慢慢确信,图 G 和图 H 真的是同构的了。在现代密码学中,让对方相信命题的正确性,但又不泄露任何其他的信息,这就叫作“零知识证明”(zero-knowledge proof)。 现在,让我们再来看一种情境。去掉上述第四点要求,但把第三点要求改一下:
  1. 你拥有无限的计算能力。
  2. 对方的计算能力非常有限。
  3. 你想要向对方证明,图 G 和图 H 确实是同构的。
你打算怎么办?注意,你的办法应该普遍适用于一切情况。在某些特定的情况下,你当然可以告诉对方,“这两个图显然不同构,因为它们的边数就不一样多”,但这不适用于两个图的边数一样多的情况。 很简单。每次让对方随机生成一个与图 G 同构的图或者与图 H 同构的图,并把它发送给你。每次你都可以准确地告诉对方,刚才发来的图是从图 G 变过来的,还是从图 H 变过来的。多试几次,对方便能确信,这两个图确实是不一样的。 上述所有例子都属于“交互式证明”(interactive proof)。第一个例子是确定性的交互式证明(deterministic interactive proof)。它也是最简单的一类交互式证明。第二个例子则是带有附加条件的交互式证明。也就是说,零知识证明是一种特殊的交互式证明。第三个例子则表明,对于有些问题来说,交互式证明的存在性并不是显然的(即使没有任何附加条件)。如果利用确定性的交互式证明,你能向别人说明问题的答案是肯定的,我们就说这个问题属于 dIP 集合。很容易证明, dIP = NP 。如果利用交互式证明(包括非确定性的交互式证明),你能向别人说明问题的答案是肯定的,我们就说这个问题属于 IP 集合。交互式证明理论的一个最主要的结论就是 IP = PSPACE ,其中 PSPACE 表示所有能用多项式的空间解决的问题。 第一个例子和第二个例子都是我早已听说过的例子。第三个例子以及与此相关的交互式证明理论则是我最近在 Introduction to the Theory of Computation 一书中看到的。它们应该都是复杂度理论中非常经典的例子。
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